複素数平面の話題、
を順にまとめています。
高校数学の基礎的な話題になります。
前回は、
複素数平面の基礎、
を中心にまとめました。
今回は、
複素数平面における2点間の距離、
から説明を始めます。
複素数平面においても、
ベクトルを考えることができるため、
2点間の距離、
を導出できます。
複素数z = (a, b)に対して、
原点0からの距離は、
になります。
これは複素数zの絶対値|z|、
に相当します。
さらに、
2つの複素数z1とz2、
の2点間の距離は、
|z1 - z2|
となります。
また複素数z = (a, b)を複素数平面上にプロットした点P、
を考えます(原点をOとします)。
ここで|z| = rとします。
直線OPと実数軸のなす角θは、
偏角、
と呼ばれ、
θ = arg z
と示されます。
角θの取れる値の範囲は、
0 ≦ θ < 2π
または、
-π ≦ θ < π
となり、
一般的にラジアンを単位として示されます。
またθ = arg zであるため、
arg z = tan -1 b/a
とも表せます。
さらにこのθを用いて複素数zを、
a = rcosθ
b = rsinθ
であるため、
z = r(cosθ+i sinθ)
と表せます。
このような表記を、
複素数 z の極形式、
と呼びます。
ここでオイラーの公式、
eiθ = cosθ+i sinθ
を用いて、
z = reiθ
とも表せます。
*オイラーの公式の補足ですが、
特にθ = πの時、
eiπ = -1 (∵ cos π = -1, sin π = 0)
となり、
この関係は特に、
eiπ+1=0
とされ、
オイラーの等式、
と呼ばれています。
・・・
オイラーの等式は数学者の間では、
美しい等式、
と称賛されているようです。
を順にまとめています。
高校数学の基礎的な話題になります。
前回は、
複素数平面の基礎、
を中心にまとめました。
今回は、
複素数平面における2点間の距離、
から説明を始めます。
複素数平面においても、
ベクトルを考えることができるため、
2点間の距離、
を導出できます。
複素数z = (a, b)に対して、
原点0からの距離は、
になります。
これは複素数zの絶対値|z|、
に相当します。
さらに、
2つの複素数z1とz2、
の2点間の距離は、
|z1 - z2|
となります。
また複素数z = (a, b)を複素数平面上にプロットした点P、
を考えます(原点をOとします)。
ここで|z| = rとします。
直線OPと実数軸のなす角θは、
偏角、
と呼ばれ、
θ = arg z
と示されます。
角θの取れる値の範囲は、
0 ≦ θ < 2π
または、
-π ≦ θ < π
となり、
一般的にラジアンを単位として示されます。
またθ = arg zであるため、
arg z = tan -1 b/a
とも表せます。
さらにこのθを用いて複素数zを、
a = rcosθ
b = rsinθ
であるため、
z = r(cosθ+i sinθ)
と表せます。
このような表記を、
複素数 z の極形式、
と呼びます。
ここでオイラーの公式、
eiθ = cosθ+i sinθ
を用いて、
z = reiθ
とも表せます。
*オイラーの公式の補足ですが、
特にθ = πの時、
eiπ = -1 (∵ cos π = -1, sin π = 0)
となり、
この関係は特に、
eiπ+1=0
とされ、
オイラーの等式、
と呼ばれています。
・・・
オイラーの等式は数学者の間では、
美しい等式、
と称賛されているようです。
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