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嘘吐きたちの円卓会議
複素数平面についての勉強会~第4回~
複素数平面の話題
を順にまとめています。
高校数学の基礎的な話題になります。

前回は、
複素数平面の基礎
を中心にまとめました。

今回は、
複素数平面における2点間の距離
から説明を始めます。

複素数平面においても、
ベクトルを考えることができるため、
2点間の距離
を導出できます。

複素数z = (a, b)に対して、
原点0からの距離は、

になります。
これは複素数zの絶対値|z|
に相当します。

さらに、
2つの複素数z1とz2
の2点間の距離は、
|z1 - z2|
となります。

また複素数z = (a, b)を複素数平面上にプロットした点P、
を考えます(原点をOとします)。
ここで|z| = rとします。
直線OPと実数軸のなす角θは、
偏角
と呼ばれ、
θ = arg z
と示されます。

角θの取れる値の範囲は、
0 ≦ θ < 2π
または、
-π ≦ θ < π
となり、
一般的にラジアンを単位として示されます。

またθ = arg zであるため、
arg z = tan -1 b/a
とも表せます。

さらにこのθを用いて複素数zを、
a = rcosθ
b = rsinθ
であるため、
z = r(cosθ+i sinθ)
と表せます。
このような表記を、
複素数 z の極形式
と呼びます。

ここでオイラーの公式
e = cosθ+i sinθ
を用いて、
z = re
とも表せます。

*オイラーの公式の補足ですが、
特にθ = πの時、
e = -1 (∵ cos π = -1, sin π = 0)
となり、
この関係は特に、
e+1=0
とされ、
オイラーの等式
と呼ばれています。

・・・

オイラーの等式は数学者の間では、
美しい等式、
と称賛されているようです。
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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